定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（...

（1）根据f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），分别令x=y=0，y=-x，即可证得结论； （2）根据f（x）在R上是单调增函数，且是奇函数，将f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，转化为32x-（1+k）•3x+2＞0对任意x∈R成立，进而可利用换元法及分类讨论的思想，即可求得实数k的取值范围． （1）证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0． 令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得 f（x-x）=f（x）+f（-x）， 又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x）． 即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．--------------（4分） （2）【解析】 f（x）在R上是单调增函数，又由（1）知f（x）是奇函数． ∵f（k•3x）＜-f（3x-9x-2）=f（-3x+9x+2）， ∴k•3x＜-3x+9x+2， ∴32x-（1+k）•3x+2＞0对任意x∈R成立． 令t=3x＞0，问题等价于t2-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．--------------------（6分） 令g（t）=t2-（1+k）t+2，其对称轴为 当，即k＜-1时，f（0）＞2，符合题意； 当，即k≥-1时，则△=（1+k）2-4×2＜0，∴ 综上，--------------------------（12分）