已知函数f（x）=x+，h（x）=． （Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）-x2[...

（Ⅰ）首先求出F（x）的解析式，求导，令导数大于0和小于0，分别求出单调增区间和减区间，从而可求极值． （Ⅱ）将方程转化为lg（x-1）+2lg=2lg，利用对数的运算法则，注意到真数大于0，转化为等价的不等式，分离参数a，求解即可． （Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）= 故原不等式转化为f（n）h（n）-=≥ 注意到等式右侧为数列{bn}：bn=和的形式，将等式的左侧也看作一个数列的前n项和的形式， 求出通项．问题转化为证明项＞项的问题．可用做差法直接求解． 【解析】 （Ⅰ）F（x）=18f（x）-x2[h（x）]2=-x3+12x+9（x≥0） 所以F′（x）=-3x2+12=0，x=±2 且x∈（0，2）时，F′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0 所以F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 故x=2时，F（x）有极大值，且F（2）=-8+24+9=25 （Ⅱ）原方程变形为lg（x-1）+2lg=2lg ⇔⇔ （1）当1＜a＜4时，原方程有一解x=3- （2）当4＜a＜5时，原方程有两解x=3± （3）当a=5时，原方程有一解x=3 （4）当a≤1或a＞5时，原方程无解． （Ⅲ）由已知得h（1）+h（2）+…+h（n）= f（n）h（n）-= 从而a1=s1=1 当k≥2时，an=sn-sn-1= 又= = =＞0 即对任意的k≥2，有 又因为a1=1= 所以a1+a2+…+an≥ 则sn≥h（1）+h（2）+…+h（n），故原不等式成立．