如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面A...

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDM；
（2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值．

（1）连接AC，交BD于点O，连接MO，由三角形中位线定理易得MO∥PA，进而由线面平行的判定定理得到PA∥平面BDM；（2）利用等体积法，根据VM-ADC=VC-ADM，我们分别计算出S△ADC，点M到面ADC的距离h1，S△ADM的大小，即可求出C点到平面ADM的距离，进而求出直线AC与平面ADM所成角的正弦值．【解析】（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接MO 因为MO是△PAC的中位线，所以MO∥PA 又因为PA⊄面BDM，MO⊂面BDM 所以PA∥平面BDM （2）因为S△ADC=，点M到面ADC的距离h1=，所以VM-ADC==．因为△PDC为等腰三角形，且M为PC的中点，所以DM⊥PC．取PB的中点E，AD的中点N，连接ME，PN，NE，BN 因为四边形DMEN为平行四边形所以DM∥NE 又因为△PNB为等腰三角形，所以NE⊥PB 所以DM⊥PB．因为DM⊥PC，DM⊥PB且PC∩PB=P 所以DM⊥面PBC．所以DM⊥BC．因为BC∥AD 所以AD⊥DM，因为DM= 所以S△ADM== 所以VM-ADC=VC-ADM=S△ADM×h2× 所以h2= 所以sinθ=

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等