已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1...

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令 manfen5.com 满分网

．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

（1）设g（x）=ax2+bx+c，根据g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1直接可得答案．（2）表示出函数f（x）的解析式，对m进行大于0、小于、和等于0进行分析可得答案．（3）先根据H（x）的导数小于等于0判断出H（x）单调递减的，只要证明|H（m）-H（1）|＜1即可．【解析】（1）设g（x）=ax2+bx+c，于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）2+2c=（x-1）2-2，所以又g（1）=-1，则．所以．（2）．当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；当m=0时，对∀x＞0，f（x）＞0恒成立；当m＜0时，由，列表：．．所以若∀x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-e，0]．故∃x＞0使f（x）≤0成立，实数m的取值范围（-∞，-e]∪（0，+∞）．（3）因为对∀x∈[1，m]，，所以H（x）在[1，m]内单调递减．于是．．记，则，所以函数在（1，e]是单调增函数，所以，故命题成立．

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考点分析：

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