设函数． （1）求函数f（x）的单调区间、极值． （2）若当x∈[a+1，a+2...

（1）对函数f（x）进行求导，根据导数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可求单调区间进而求出极值点． （2）将（1）中所求的导函数f'（x）代入|f'（x）|≤a得到不等关系式，再由函数f'（x）的单调性求出最值可得解． 【解析】 f'（x）=-x2+4ax-3a2．令f'（x）=-x2+4ax-3a2=0，得x=a或x=3a由表 可知：当x∈（-∞，a）时，函数f（x）为减函数，当x∈（3a，+∞）时．函数f（x）也为减函数； 当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数． 当x=a时，f（x）的极小值为时，f（x）的极大值为b． （2）由|f'（x）|≤a，得-a≤-x2+4ax-3a2≤a． ∵0＜a＜1，∴a+1＞2a，f'（x）=-x2+4ax-3a2在[a+1，a+2]上为减函数． ∴[f'（x）]max=f'（a+1）=2a-1，[f'（x）]min=f'（a+2）=4a-4． 于是，问题转化为求不等式组的解．解得．又0＜a＜1，∴．