已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0表示一个...

（1）利用方程表示圆的条件D2+E2-4F＞0，建立不等式，即可求出实数m的取值范围； （2）利用圆的半径r=，利用配方法结合（1）中实数m的取值范围，即可求出该圆半径r的取值范围； （3）根据x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0，确定圆的圆心坐标，再消去参数，根据（1）中实数m的取值范围，可求得圆心的轨迹方程． 【解析】 （1）∵方程表示圆， ∴D2+E2-4F=4（m+3）2+4（1-4m2）2-4（16m4+9）=4（-7m2+6m+1）＞0， ∴-7m2+6m+1＞0 ∴-＜m＜1．（5分） （2）r== ∵-＜m＜1 ∴0＜r≤．（5分） （3）设圆心坐标为（x，y），则， 由①得m=x-3，代入②消去m得，y=4（x-3）2-1． ∵-＜m＜1，∴＜x＜4，即轨迹为抛物线的一段， ∴圆心的轨迹方程为y=4（x-3）2-1（＜x＜4）．（5分）