椭圆C：长轴为8离心率 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C内一点M（2，...

（1）由椭圆C：长轴为8，离心率，知，由此能求出椭圆C的标准方程． （2）法一：设所求直线方程为y-1=k（x-2），代入椭圆方程并整理得：（4k2+1）x2-8（2k2-k）x+4（2k-1）2-16=0，设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则，由M为AB的中点，知，由此能求出直线方程． 法二：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），M（2，1）为AB的中点，所以x1+x2=4，y1+y2=2，用点差法能求出直线方程． 法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1），则另一个交点为B（4-x，2-y），因为A、B两点在椭圆上，所以有，由此能求出直线方程． 【解析】 （1）∵椭圆C：长轴为8，离心率， ∴， ∴，b=， ∴椭圆C的标准方程为（6分） （2）解法一：设所求直线方程为y-1=k（x-2）， 代入椭圆方程并整理得：（4k2+1）x2-8（2k2-k）x+4（2k-1）2-16=0， 又设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1，x2是方程的两个根， 于是， 又M为AB的中点，所以， 解得，（5分） 故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分） 解法二：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， M（2，1）为AB的中点， 所以x1+x2=4，y1+y2=2， 又A、B两点在椭圆上， 则，， 两式相减得， 所以， 即，（5分） 故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分） 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y）， 由于中点为M（2，1）， 则另一个交点为B（4-x，2-y）， 因为A、B两点在椭圆上， 所以有， 两式相减得x+2y-4=0， 由于过A、B的直线只有一条，（5分） 故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分）