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函数f（x）=x2009|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ） A．ab=0 ...

函数f（x）=x2009|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）
A．ab=0
B．a+b=0
C．manfen5.com 满分网
D．a2+b2=0
根据题意，由奇函数的定义可得若f（x）为奇函数，则等式-x2009|-x-a|+b+x2009|x-a|+b=0对于任意的x∈R都成立，分析可得，必有a=b=0，进而分析可得a=b=0⇔a2+b2=0，验证充分性，即可得答案． 【解析】 根据题意，若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立， 即等式-x2009|-x-a|+b+x2009|x-a|+b=0对于任意的x∈R都成立， 分析可得，必有a=b=0， 分析可得a=b=0⇔a2+b2=0， 反之若a2+b2=0，则a=b=0， 则f（x）=x2009|x|，f（-x）=-x2009|x|， 则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立， 故f（x）为奇函数； 即函数f（x）=x2009|x+a|+b是奇函数的充要条件是a2+b2=0， 故选D．
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