已知函数． （I）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （...

（I）求出函数在x=1处的值，求出导函数，求出导函数在x=1处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程． （II）求出函数的导函数，令导函数大于等于0恒成立，构造函数，求出二次函数的对称轴，求出二次函数的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范围． （III）通过g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，通过对p的讨论，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范围． 【解析】 （I）当p=2时，函数，f（1）=2-2-2ln1=0.， 曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2． 从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1） 即y=2x-2． （II）． 令h（x）=px2-2x+p， 要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立． 由题意p＞0，h（x）=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为， ∴，只需， 即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0 ∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）． （III）∵在[1，e]上是减函数， ∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e， 即g（x）∈[2，2e]， 1当p＜02时，h（x）=px2-2x+p3，其图象为开口向下的抛物线，对称轴4在y5轴的左侧，且h（0）＜0， 所以f（x）在x∈[1，e]9内是减函数． 当p=0时，h（x）=-2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0， ，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数． ∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意； （ 当0＜p＜1时，由12，所以． 又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数， ∴，不合题意； 14当p≥115时，由（2）知f（x）16在[1，e]17上是增函数，f（1）=0＜218，又g（x）19在[1，e]20上是减函数， 故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）min=2，即，解得 综上所述，实数p的取值范围是．