已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x． （I）讨论f（x）的单调性； ...

（I）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间；（II）构造函数g（x）=f（+x）-f（-x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜时的最小值大于零即可，（III）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，根据（I）．（II）结论，即可证明结论． 【解析】 （I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）==-， ①若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，且当x∈（0，）时，f′（x）＞0， 当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减； ②当a≤0时，f（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增； （II）设函数g（x）=f（+x）-f（-x），则g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax， g′（x）==， 当x∈（0，）时，g′（x）＞0，而g（0）=0， 所以g（x）＞0， 故当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）； （III）由（I）可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点， 故a＞0，从而f（x）的最大值为f（），且f（）＞0， 不妨设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2， 则0＜x1＜＜x2， 由（II）得，f（-x1）=f（）＞f（x1）=f（x2）=0， 又f（x）在（，+∞）单调递减， ∴-x1＜x2，于是x=， 由（I）知，f′（ x）＜0．