已知函数f（x）=log2（2x+1）（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）...

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）
（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
（2）记f^-1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位．（2）先求得反函数f-1（x）=log2（2x-1）（x＞0），构造函数=利用复合函数的单调性求得函数的值域．【解析】（1）任取x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=log2（2x1+1）-log2（2x2+1）=， ∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1， ∴， ∴f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增（2）∵f-1（x）=log2（2x-1）（x＞0）， ∴m=f-1（x）-f（x）=log2（2x-1）-log2（2x+1）== 当1≤x≤2时，， ∴ ∴m的取值范围是

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考点分析：

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