已知函数．（1）求f（x）的值域；（2）设a≠0，函数，x∈[0，2]．若对...

已知函数

．
（1）求f（x）的值域；
（2）设a≠0，函数 manfen5.com 满分网

，x∈[0，2]．若对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0．求实数a的取值范围．

（1）求出f（x）的导函数，令导函数等于求出x的值，然后由x的值，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值即可得到f（x）的值域；（2）设函数g（x）在[0，2]上的值域是A，根据题意对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使f（x1）-g（x2）=0，得到区间[0，2]是A的子集，求出g（x）的导函数，分a小于0和a大于0两种情况讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值，即可得到函数在相应区间的值域，根据区间[0，2]是A的子集判断出符合这一条件的情况，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意a的取值范围．【解析】（1）对函数f（x）求导，．令f'（x）=0得x=1或x=-1．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，2）上单调递减．又，所以当x∈[0，2]，f（x）的值域是；（2）设函数g（x）在[0，2]上的值域是A． ∵对任意x1∈[0，2]，总存在x∈[0，2]，使f（x1）-g（x）=0， ∴．对函数g（x）求导，g'（x）=ax2-a2． ①当a＜0时，若x∈（0，2），g'（x）＜0，所以函数g（x）在（0，2）上单调递减． ∵， ∴当x∈[0，2]时，不满足； ②当a＞0时，．令g'（x）=0，得或（舍去）．（i）当x∈[0，2]，时，列表： ∵，又∵，∴，解得．（ii）当x∈（0，2），时，g'（x）＜0，∴函数在（0，2）上单调递减， ∵g（0）=0，∴∴当x∈[0，2]时，不满足．综上，实数a的取值范围是．

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考点分析：

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④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等

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