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某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2010年世博会期间进行一系列促销活...

某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为:其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.
(1)将2010年利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数;
(2)该企业2010年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
(注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)
(1)根据题意,3-x与t+1成反比例,列出关系式,然后根据当t=0时,x=1,求出k的值,通过x表示出年利润y,并化简,代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数. (2)根据已知代入(1)的函数,分别进行化简,利用关于t的方程必须有两正根建立关系式,可求出最值,即促销费投入多少万元时,企业的年利润最大. 【解析】 (1)由题意:, 且当t=0时,x=1. 所以k=2,即 . 当年销量为x万件时,成本为3+32x(万元). 化妆品的售价为 (万元/万件) 所以年利润y=(万元) 把 代入整理得到 ,其中t≥0. (2)去分母整理得到:t2+2(y-49)t+2y-35=0. 该关于t的方程在[0,+∞)上有解. 当2y-35≤0,即y≤17.5时,必有一解. 当2y-35>0时,该关于t的方程必须有两正根 所以 .解得:17.5<y≤42. 综上,年利润最大为42万元,此时促销费t=7(万元). 所以当促销费定在7万元时,企业的年利润最大.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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