已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）． （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x...

（I）由题意及函数解析式需用导函数来求其单调区间； （II）由导函数的几何意义可以先求出a的值，此时函数f（x）就具体了，然后代入g（x）的解析式，再利用一元3次函数存在极值的充要条件建立m的不等式即可； （III）由题意构建新函数F（x），这样问题转化为使函数F（x）在[1，e]上至少有一解的判断． 【解析】 （Ι）当a=1时，函数f（x）=alnx-ax-3=lnx-x-3；导函数为； 当0＜x＜1时，函数f（x）单调递增，当时x＞1时，函数f（x）单调递减； 故减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）； （Ⅱ）∵g（x）=x2-2x， ∴g‘（x）=3x2+（4+m）x-2， ∵g（x）在区间（t，3）上总存在极值，∴ 解得． 所以当m∈时，对于任意的t∈[1，2]函数在区间（t，3）上总存在极值． （Ⅲ）∴ ①当p≤0时，由x∈[1，e]得px-≤0，--2lnx＜0． 所以，在[1，e]上不存在x，使得h（x）＞f（x）成立； ②当p＞0时，F'（x）=，∵x∈[1，e]， ∴2e-2x≥0，px2+p＞0，F'（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上单调递增． ∴． 故只要，解得．所以p的取值范围是．