已知f（x）=ex-kx ①若k=e3求 f（x）的单调区间． ②若对任意x∈R...

①由f（x）=ex-e3x，知f'（x）=ex-e3，令f'（x）＞0，得x＞3．由此能求出f（x）的单调区间． ②对任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立，即对任意的x≥0有f（x）＞0恒成立，即x≥0时，f（x）min＞0，又f′（x）=ex-k．当k≤1时，x≥0有f'（x）≥0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，则fmin（x）=f（0）=1＞0满足题意．由此能够求出k的取值范围． ③若f（x）=0有两相异实根，又f′（x）=0至多只有一解，所以有y=f（x）的极小值存在且小于0，即k＞0，且f（x）min=f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＜0，由此能求出k的取值范围． 【解析】 ①∵f（x）=ex-e3x， ∴f'（x）=ex-e3 令f'（x）＞0则ex-e3＞0， 得x＞3， ∴f（x）的单调増区间为[3，+∞），f（x）的单调减区间为（-∞，3]． ②对任意x∈R，有f（|x|）＞0恒成立， 即对任意的x≥0有f（x）＞0恒成立， 即x≥0时，f（x）min＞0，又f′（x）=ex-k． 当k≤1时，x≥0有f'（x）≥0， ∴f（x）在[0，+∞）上是增函数， 则fmin（x）=f（0）=1＞0满足题意． 当k＞1时，令f′（x）=ex-k=0，即ex=k， ∴．∴ ∴k-lnk＞0，即k＜e． ③若f（x）=0有两相异实根，又f′（x）=0至多只有一解， ∴有y=f（x）的极小值存在且小于0， 即k＞0，且f（x）min=f（lnk）=k-klnk=k（1-lnk）＜0， ∵k＞0， ∴1-lnk＜0，即lnk＞1， ∴．