设函数f（x）=x3+ax2-9x-1（a＜0）．若曲线y=f（x）的斜率最小的...

（1）先求出导函数的最小值，最小值与直线12x+y=6的斜率相等建立等式关系，求出a的值即可； （2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，解得的区间就是所求． 【解析】 （Ⅰ）因f（x）=x2+ax2-9x-1 所以f'（x）=3x2+2ax-9= 即当x=时，f'（x）取得最小值． 因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12， 所以 解得a=±3，由题设a＜0，所以a=-3． （Ⅱ）由（Ⅰ）知a=-3，因此f（x）=x3-3x2-9x-1，f'（x）=3x2-6x-9=3（x-3（x+1） 令f'（x）=0，解得：x1=-1，x2=3． 当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上为增函数； 当x∈（-1，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（-1，3）上为减函数； 当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数． 由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞）； 单调递减区间为（-1，3）．