已知函数f（x）=（x2+ax-2a-3）ex， （Ⅰ）若x=2是函数f（x）的...

（I）由x=2是函数f（x）=（x2+ax-2a-3）ex的一个极值点，可得到x=2是f′（x）=0的根，从而求出a． （II）当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒不在直线y=e2上方，等价于x∈[1，2]，f（x）max≤ex恒成立．由（I）知，f′（x）=（x+a+3）（x-1）ex，令f′（x）=0，得x1=-a-3，x2=1，由此能求出实数a的取值范围． 【解析】 （I）由f（x）=（x2+ax-2a-3）ex可得 f′（x）=（2x+a）ex+（x2+ax-2a-3）ex =[x2+（2+a）x-a-3]ex，（4分） ∵x=2是函数f（x）的一个极值点， ∴f′（2）=0 ∴（a+5）e2=0，解得a=-5．（6分） 代入f′（x）=（x+a+3）（x-1）ex=（x-2）（x-1）ex， 当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0， ∴x=2是f（x）的极值． ∴a=-5． （II）当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒不在直线y=e2上方， 等价于x∈[1，2]，f（x）≤ex恒成立， 即x∈[1，2]，f（x）max≤ex恒成立． 由（I）知，f′（x）=（x+a+3）（x-1）ex， 令f′（x）=0，得x1=-a-3，x2=1， 当a≤-5时，-a-3≥2，∴f（x）在x∈[1，2]单调减， ，a≥-e-2与a≤-5矛盾，舍去． 当-5＜a＜-4时，1＜-a-3＜2， f（x）在x∈（1，-a-3）上单调递减，在x∈（-a-3，2）上单调递增， ∴f（x）max在f（1）或f（2）处取到， f（1）=（-a-2）e，f（2）=e2， ∴只要f（1）=（-a-2）e≤e2， 解得-e-2≤a＜-4． 当-4≤a＜0时，-a-3≤1， f（x）在x∈[1，2]上单调增，，符合题意， ∴实数a的取值范围是[-e-2，0）．