设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．（1）如果a=1，...

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．
（1）如果a=1，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）证明：当m＞n＞0时，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

（1）确定函数的定义域，求导函数，从而确定f（x）的单调递减区间；（2）先确定函数的单调递增区间，再根据f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，建立不等式，从而可求实数a的取值范围；（3）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．（1）【解析】函数f（x）的定义域为（-1，+∞）（1分） f′（x）=1-aln（x+1）-a（2分）当a=1时，f′（x）=-ln（x+1）当x＞0时，f′（x）＜0．所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（4分）（2）【解析】 ①当a=0时，f′（x）=1＞0 ∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数（5分） ②当a＞0时，令，当f′（x）＞0时，得所以f（x）的递增区间为（7分）又因为f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增所以，由此得（8分）综上，得（9分）（3）要证：（1+m）n＜（1+n）m 只需证nln（1+m）＜mln（1+n），只需证设，（10分）则（11分）由（1）知：即当a=1时，f（x）=x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减，即x＞0时，有f（x）＜f（0），-------（12分） ∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，所以g′（x）＜0，即g（x）是（0，+∞）上的减函数，（13分）即当m＞n＞0时，g（m）＜g（n），故原不等式成立．（14分）

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考点分析：

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