如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=9...

（1）先根据条件得到MN⊥面AB1M，再结合B1C12+NC12=B1M2+NM2即可求出结论． （2）AB平行于A1B1，∠A1BN就是异面直线所成的角，转化为求∠A1BN （3）作ME⊥B1N，交B1N于E可得∠AEM为二面角A--B1N-M的平面角；计算出tan∠AEM即可． （4）作MH⊥AE于H，根据条件得到MH的长即为点M到平面AB1N的距离，然后在直角三角形AME中，求出MH即可． 【解析】 （1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M为BC中点， ∴AM⊥BC，AM⊥面BCC1B1 ∴AM⊥MN，NM⊥AB1；AM∩AB1=A 所以MN⊥AB1M BC=B1C1=， 设CN=x，则NC1=2-x B1C12+NC12=B1M2+NM2 2+（2-x）2=22+++x2， 解得x=． （2）∵AB∥A1B1 ∴异面直线B1N与AB所成的角为∠A1BN ∵面ABB1A1⊥面ACC1A1， ∴B1A1⊥面ACC1A1，B1A1⊥A1N A1N===． ∴tan∠A1BN==． （3）连接AM，M为BC中点，∴AM⊥BC，AM⊥面BCC1B1 作ME⊥B1N，交B1N于E，连接AE，∴AE⊥B1N （三垂线定理） ∴∠AEM为二面角A--B1N-M的平面角 =22++=⇒B1N=． NM2=+ 设EN=x，∵△B1NM为直角三角形，∴NM2=x•B1N 即=⇒x=． ME== AM=， ∴tan∠AEM==1 ∴二面角A-B1N-M为45°． （4）作MH⊥AE于H，① 由第三问得B1N⊥平面AEM，所以B1N⊥MH，② AE∩B1N=E    ③ 结合①②③得：MH⊥平面AB1N； ∴MH的长即为点M到平面AB1N的距离 在直角三角形AME中，MH=MEsin∠AEM=MEsin45°=×=． 即点M到平面AB1N的距离为：．