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数列an的前n项和为Sn,Sn=2an-3n(n∈N*). (Ⅰ)证明数列an+...

数列an的前n项和为Sn,Sn=2an-3n(n∈N*).
(Ⅰ)证明数列an+3是等比数列,求出数列an的通项公式;
(Ⅱ)设manfen5.com 满分网,求数列bn的前n项和Tn
(Ⅲ)判断数列an中是否存在构成等差数列的三项?若存在,求出一组符合条件的项;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)根据an+1=Sn+1-Sn,求得an+1=2an+3,整理可得判断出数列an+3是等比数列,进而利用等比数列的通项公式求得an+3进而求得an. (Ⅱ)把(1)中的an代入bn中,进而利用错位相减法和等差数列的求和公式求得前n项的和. (Ⅲ)设存在s,p,r∈N*,且s<p<r,使得as,ap,ar成等差数列,根据等差中项的性质可知2ap=as+ar,利用(1)中的an展开得2p+1=2s+2r,2p-s+1=1+2r-s,进而根据2p-s+1,2r-s为偶数,而1+2r-s为奇数,判断出假设不成立.故可知不存在这样的三项. 【解析】 (Ⅰ)因为Sn=2an-3n,所以Sn+1=2an+1-3(n+1), 则an+1=2an+1-2an-3,所以an+1=2an+3,, 数列an+3是等比数列,a1=S1=3,a1+3=6,an+3=6•2n-1=3•2n, 所以an=3•2n-3. (Ⅱ),Tn=2+2•22+3•23++n•2n-(1+2++n), 令Tn′=2+2•22+3•23++n•2n,①2Tn′=22+2•23+3•24++(n-1)•2n+n•2n+1,② ①-②得,-Tn′=2+22++2n-n•2n+1=-2(1-2n)-n•2n+1,Tn′=2+(n-1)•2n+1, 所以. (Ⅲ)设存在s,p,r∈N*,且s<p<r,使得as,ap,ar成等差数列,则2ap=as+ar,即2(3•2p-3)=3•2s-3+3•2r-3 即2p+1=2s+2r,2p-s+1=1+2r-s,2p-s+1,2r-s为偶数,而1+2r-s为奇数, 所以2p+1=2s+2r不成立,故不存在满足条件的三项.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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