（普通班）如图所示，从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭 圆的左焦点F1，且它...

（1）首先根据MF1⊥x轴，AB∥OM，得到Rt△OMF1∽Rt△ABO，从而得到比例线段：．再根据点M在椭圆上， 求出M的纵坐标，得出MF1=，再结合AO=a，BO=b，OF1=c，代入所得比例式，化简可得b=c，从而求出椭圆的离心率e； （2）当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F1QF2的大小为零；当点Q不与椭圆长轴的端点重合时，设∠F1QF2的大小为θ， 在△F1QF2中，利用余弦定理，结合基本不等式和椭圆的定义，可以证出4a2-4c2≤2a2（1+cosθ），结合（1）的结论 a2=2c2，可以证出cosθ≥0，从而得到0＜θ≤．最后综合，得到，即为∠F1QF2的取值范围． 【解析】 （1）∵MF1⊥x轴，AB∥OM， ∴Rt△OMF1∽Rt△ABO⇒…（*） 设点M（-c，y1），代入椭圆方程， 得，解之得y1=（舍负），所以MF1=， 又∵AO=a，BO=b，OF1=c， ∴将AO、BO、MF1、OF1的长代入（*）式，得， ∴b=c，得到b2=c2，即a2-c2=c2，所以a2=2c2， ∴离心率e满足e2=，可得（舍负）（8分）       （2）分两种情况加以讨论 ①当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F1QF2的大小为零； ②当点Q不与椭圆长轴的端点重合时，设∠F1QF2的大小为θ，则 在△F1QF2中， 即， 将F1F2=2c，QF1+QF2=2a代入，得4c2=4a2-2QF1•QF2（1+cosθ）， ∴4a2-4c2=2QF1•QF2（1+cosθ）， ∵QF1•QF2≤=a2，即得2QF1•QF2（1+cosθ）≤2a2（1+cosθ）， ∴4a2-4c2≤2a2（1+cosθ），结合（1）的结论a2=2c2， ∴2a2≤2a2（1+cosθ）⇒cosθ≥0， ∵θ∈（0，π） ∴0＜θ≤， 综上所述，，即∠F1QF2的取值范围是（14分）