已知函数． （1）判断函数f（x）的奇偶性； （2）讨论函数f（x）在区间（1，...

（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再利用奇函数定义，证明f（-x）=-f（x）即可；（2）先将函数化为复合函数形式，由于内层函数为减函数，故函数的单调性取决于外层函数的单调性，故需分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论函数的单调性，最后利用函数单调性的定义证明讨论结果即可 【解析】 （1）∵，∴f（x）的定义域是{x|x＜-1或x＞1} 又f（-x）+f（x）= ∴f（-x）=-f（x） ∴f（x）为奇函数…（5分） （2）∵ ∴当x＞1时，f（x）有意义 ∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减 当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 证明如下：设任意的x1，x2∈（1，+∞）且x1＞x2 则 ∴x1＞x2＞1∴x1+1＞x2+1＞2，x1-1＞x2-1＞0，x2-x1＜0 ∴ ∴ ∴当a＞1时， ∴f（x1）＜f（x2） 当0＜a＜1时， ∴f（x1）＞f（x2） 故 当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减； 当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增．