已知a≥，f（x）=-a2x2+ax+c． （1）如果对任意x∈[0，1]，总有...

（1）将原二次函数配方得f（x）=-a2（x-）2+c+，利用二次函数在闭区间上的最值求出它在（0，1]最大值，再由题意得[f（x）]max=c+≤1，从而证得：c≤． （2）根据抛物线开口向下，f（x）=0的两根在[0，+∞）内，得出关于a，c的不等关系，解之即可得出实数c的取值范围． 【解析】 （1）f（x）=-a2（x-）2+c+， ∵a≥，∴∈（0，1]， ∴x∈（0，1]时，[f（x）]max=c+，-----------------------（2分） ∵f（x）≤1，则[f（x）]max=c+≤1，即c≤， ∴对任意x∈[0，1]，总有f（x）≤1成立时，可得c≤．--------------------------（5分） （2）∵a≥，∴＞0 又抛物线开口向下，f（x）=0的两根在[0，+∞）内， 所求实数c的取值范围为．---------------------（12分）