已知函数 （1）判断f（x）的奇偶性并证明； （2）若f（x）的定义域为[α，β...

（1）先求得f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．再验证，从而可得f（x）为奇函数； （2）f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）．设x1，x2∈[α，β]，则x1＜x2，且x1，x2＞3，作差f（x1）-f（x2）==，从而可知当0＜m＜1时，logm，即f（x1）＞f（x2）；当m＞1时，logm，即f（x1）＜f（x2）， 故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．                    （3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，故若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[logmm（β-1），logmm（α-1）]，则有，从而问题可转化为α，β是方程的两个解，进而问题得解． 【解析】 （1）由得f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称． ∵ ∴f（x）为奇函数                     …（3分） （2）∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）． 设x1，x2∈[α，β]，则x1＜x2，且x1，x2＞3， f（x1）-f（x2）== ∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）=6（x1-x2）＜0， ∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3） 即， ∴当0＜m＜1时，logm，即f（x1）＞f（x2）； 当m＞1时，logm，即f（x1）＜f（x2）， 故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．                      …（7分） （3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数， ∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[logmm（β-1），logmm（α-1）]， 则有…（9分） ∴ ∴α，β是方程的两个解…（10分） 解得当时，[α，β]=， 当时，方程组无解，即[α，β]不存在．                 …（12分）