函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对任意非零实数x1，x2...

函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对任意非零实数x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）为增函数，求满足f（2x-6）≤2成立的x的取值范围．

（1）用特殊值法，在f（x1x2）=f（x1）+f（x2）中，令x1=x2=1，可得f（1）=f（1）+f（1），即可得答案；（2）在f（x1x2）=f（x1）+f（x2）中，令x1=x2=-1，可得f（1）=f（-1）+f（-1），有（1）可得f（-1）=0，进而在f（x1x2）=f（x1）+f（x2）中，令x1=-1，x2=x，可得f（-x）=f（-1）+f（x），即可得答案；（3）根据题意，由函数的定义域可得2x-6≠0，解可得x≠3，在f（x1x2）=f（x1）+f（x2）中，令x1=x2=4，可得f（16）=2，则f（2x-6）≤2可以变形为f（2x-6）≤f（16），结合函数的单调性可得|2x-6|≤16，解可得x的范围，结合x≠3，可得答案．【解析】（1）在f（x1x2）=f（x1）+f（x2）中，令x1=x2=1，可得f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0，（2）在f（x1x2）=f（x1）+f（x2）中，令x1=x2=-1，可得f（1）=f（-1）+f（-1），又由f（1）=0，可得f（-1）=0，在f（x1x2）=f（x1）+f（x2）中，令x1=-1，x2=x，可得f（-x）=f（-1）+f（x），即f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数；（3）根据题意，对于f（2x-6），有2x-6≠0，则x≠3，在f（x1x2）=f（x1）+f（x2）中，令x1=x2=4，可得f（16）=f（4）+f（4）=2， f（2x-6）≤2⇒f（2x-6）≤f（16），又由f（x）在（0，+∞）为增函数，则有|2x-6|≤16，解可得，-5≤x≤11，又由x≠3，则x的取值范围是[-5，3）∪（3，11]．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等