已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+x． ...

已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）-g（x）=x³+x²+x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明．

（1）将-x代入已知等式，利用函数f（x）、g（x）的奇偶性，得f（x）与g（x）的又一等式，将二者看做未知数解方程组即可得f（x）的解析式；（2）利用函数单调性的定义，设x1，x2∈R，且x1＜x2，利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小，即可证明函数的单调性【解析】（1）∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+x．① ∴f（-x）-g（-x）=-x3+x2-x，即-f（x）-g（x）=-x3+x2-x ② ①-②得2f（x）=2x3+2x，∴f（x）=x3+x （2）函数f（x）为R上的单调增函数证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=x13+x1-（x23+x2）=x13-x23+（x1-x2） =（x1-x2）（x12+x1x2+x22）+（x1-x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22+1） ∵x1，x2∈R，且x1＜x2， ∴x1-x2＜0，x12+x1x2+x22+1=（x1+）2++1＞0 ∴（x1-x2）（x12+x1x2+x22+1）＜0 即f（x1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2） ∴函数f（x）在R上为增函数．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等