已知数列{an}的各项均为正数，且a1=1，当n≥2时，都有an=an-1+2n...

（Ⅰ）当n≥2时，利用an=an-1+2n-1，写出a2-a1=2×2-1，a3-a2=2×3-1，…an-an-1=2×n-1 各式相加，可求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）先放缩，再裂项求和，即可证得结论； （Ⅲ）先计算当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，； 猜想当n≥3时，，再用数学归纳法证明． （Ⅰ）【解析】 当n≥2时，∵an=an-1+2n-1， ∴a2-a1=2×2-1 a3-a2=2×3-1 … an-an-1=2×n-1 各式相加得an-a1=2（2+3+…+n）-（n-1）， ∴an-a1=2× ∴． 又当n=1时，a1=1满足上式，故． （Ⅱ）证明： =． （Ⅲ）【解析】 ，， 当n=1时，； 当n=2时，； 当n=3时，； 猜想当n≥3时，． 以下用数学归纳法证明： ①当n=3时，左边==右边，命题成立． ②假设当n=k（k≥3）时，，即． 当n=k+1时，=，命题成立． 故当n≥3时，． 综上所述，当n=1时，， 当n=2时，， 当n≥3时，．