某同学对函数f（x）=xcosx进行研究后，得出以下五个结论： ①函数y=f（x...

某同学对函数f（x）=xcosx进行研究后，得出以下五个结论：
①函数y=f（x）的图象是中心对称图形；
②对任意实数x，f（x）≤|x|均成立；
③函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
⑤当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的序号是．

根据函数f（x）=xcosx是奇函数可得①正确．根据|cosx|≤1，可得②正确．根据当x=kπ+，k∈z 时，函数f（x）=xcosx=0，且f（0）=0，可得③不正确．根据当 x=2kπ，k∈z 时，方程xcosx=x 成立，可得④正确．根据方程 xcosx=kx，|k|＞1，有唯一解为 x=0，可得⑤正确．【解析】由于函数f（x）=xcosx是奇函数，故图象关于原点对称，故①正确．由于|cosx|≤1，故|f（x）|≤|x|，∴f（x）≤|x|成立，故②正确．由于当x=kπ+，k∈z 时，函数f（x）=xcosx=0，且f（0）=0，故函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，但任意相邻两个公共点的距离不一定相等，如相邻的公共点（0，0）、（，0）、（，0），显然不满足③，故③不正确．由于方程xcosx=x 即cosx=1，故 x=2kπ，k∈z，函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两个点的距离相等，且等于2π，故④正确．由方程 xcosx=kx，|k|＞1，可得此方程有唯一解为 x=0，故函数y=f（x）的图象与直线y=kx 有且仅有一个公共点，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．

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考点分析：

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①f（2）=0；
②f（x）的图象关于点（2，0）对称；
③f（x）在（3，4）上为常数函数；④f（x）为偶函数．
其中正确命题的个数有（）
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C．3
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试题属性

题型：填空题
难度：中等