已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的...

（Ⅰ）依题意，令，，进而得到b与c的关系式． （Ⅱ）（ⅰ）当c=4时，则b=3，得F′（x）=3x2+12x+13，若存在满足条件的点M，则F′（x）=1，进而得到答案． （ⅱ）令F′（x）=0，得△=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c），若△=0，则F′（x）=0有两个相等的实根，根据列表可得x=x不是函数F（x）的极值点．若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），根据列表可得x=x1是函数F（x）的极大值点，x=x2是函数F（x）的极小值点．进而解出答案． 【解析】 （Ⅰ）依题意，令．． ∵b＞-1，c＞0， ∴． （Ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，所以F′（x）=3x2+4bx+b2+c． （ⅰ）当c=4时，则b=3， 所以F（x）=f（x）g（x）=x3+6x2+13x+12，所以F′（x）=3x2+12x+13， 若存在满足条件的点M，则有：F′（x）=3x2+12x+13=1， 解得：x=-2，y=2， 所以这样的点M存在，且坐标为（-2，2）． （ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，所以F′（x）=3x2+4bx+b2+c． 令F′（x）=0，即3x2+4bx+b2+c=0；所以△=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c）， 若△=0，则F′（x）=0有两个相等的实根，设为x，此时F′（x）的变化如下： x （-∞，x） x （x，+∞） F′（x） + + 于是x=x不是函数F（x）的极值点． 若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2）且F′（x）的变化如下： x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞） F′（x） + - + 由此，x=x1是函数F（x）的极大值点，x=x2是函数F（x）的极小值点． 综上所述，当且仅当△＞0时，函数F（x）在（-∞，+∞）上有极值点.．∵， ∴