函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy． ...

（Ⅰ）利用赋值法，令x=y=0可求f（0） （Ⅱ）由f（1）=1，可得，猜想f（n）=n2，后用数学归纳法            （Ⅲ）由f（1）≥1，可得，假设n=k（k∈N*）时命题成立，即，利用递推关系可证 【解析】 （Ⅰ）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0（3分） （Ⅱ）f（1）=1，（2分） 猜想f（n）=n2，下用数学归纳法证明之． 当n=1时，f（1）=1满足条件 假设当n=k时成立，即f（k）=k2 则当n=k+1时f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k2+1+2k=（k+1）2 从而可得当n=k+1时满足条件 对任意的正整数n，都有 f（n）=n2                （5分） （Ⅲ）f（1）≥1，则 假设n=k（k∈N*）时命题成立，即，则， 由上知，则．（4分）