如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为棱BC，B1C1的中点．...

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D，D₁分别为棱BC，B₁C₁的中点．
（1）求证：直线A₁D₁∥平面ADC₁．
（2）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（3）设底面边长为2，侧棱长为4，求二面角C₁-AD-C的余弦值．

（1）利用线面平行的判定定理，只需证明平面外的直线平行于平面内的一条直线，证明A1D1∥AD即可；（2）利用面面垂直的判定定理，只需证明一个平面经过另一个平面的垂直，证明AD⊥平面BCC1B1即可；（3）先判断∠C1DC为二面角C1-AD-C的平面角，再在Rt△C1CD中求解即可．（1）证明：连接DD1，∵点D1为棱B1C1的中点，则，所以四边形AA1D1D为平行四边形 ∴A1D1∥AD． …（3分）又AD⊂平面ADC1，A1D1⊄平面ADC1， ∴A1D1∥平面ADC1…（5分）（2）证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中， ∵CC1⊥底面ABC，又AD⊂底面ABC ∴AD⊥CC1…（7分） ∵点D为棱BC的中点， ∴AD⊥BC，…（8分） CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，CC1∩BC=C， ∴AD⊥平面BCC1B1…（9分）又∵AD⊂平面ADC1， ∴平面ADC1⊥平面BCC1B1…（10分）（3）【解析】由（1）得AD⊥平面BCC1B1， ∴AD⊥BC，AD⊥C1D ∴∠C1DC为二面角C1-AD-C的平面角 …（12分）又CD=1，CC1=4，∴ 在Rt△C1CD中， ∴二面角C1-AD-C的余弦值为．…（14分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等