定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x...

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

（1）欲证f（x）为奇函数即要证对任意x都有f（-x）=-f（x）成立．在式子f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x可得f（0）=f（x）+f（-x）于是又提出新的问题，求f（0）的值．令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，f（x）是奇函数得到证明．（2）先将不等关系f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0转化成f（k•3x）＜f（-3x+9x+2），再结合函数的单调性去掉“f”符号，转化为整式不等关系，最后利用分离系数法即可求实数k的取值范围．【解析】（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），① 令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．令y=-x，代入①式，得f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有 0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．（2）【解析】 f（3）=log23＞0，即f（3）＞f（0），又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，又由（1）f（x）是奇函数． f（k•3x）＜-f（3x-9x-2）=f（-3x+9x+2）， k•3x＜-3x+9x+2，令t=3x＞0，分离系数得：，问题等价于，对任意t＞0恒成立． ∵， ∴．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等