设函数f（x）=lnx-px+1，其中p为常数． （Ⅰ）求函数f（x）的极值点；...

（1）先求定义域，在函数定义域内连续可导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点． （2）要使f（x）≤0恒成立，只需求函数的最大值，而该函数的最大值就是极大值即可． （3）先令p=1，由（2）知，lnx-x+1≤0，从而有lnn2≤n2-1，再进行求和，利用放缩法，然后用立项求和的方法进行求和即可得证． 【解析】 （Ⅰ）∵f（x）=lnx-px+1定义域为（0，+∞）， ∴， 当p≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上无极值点 当p＞0时，令f'（x）=0，∴x=∈（0，+∞），f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表： 从上表可以看出：当p＞0时，f（x）有唯一的极大值点 （Ⅱ）当p＞0时，在处取得极大值，此极大值也是最大值， 要使f（x）≤0恒成立，只需， ∴p≥1 ∴p的取值范围为[1，+∞） （Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，lnx-x+1≤0， ∴lnx≤x-1， ∵n∈N，n≥2 ∴lnn2≤n2-1， ∴ ∴== = ∴结论成立