已知数列{an}满足：． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ...

（Ⅰ）2n+1an+1-2nan=n，令bn=2n+1an+1-2nan，得2nan=2a1+b1+b2+…+bn-1=，由此能求出数列{an}的通项公式． （Ⅱ）由，可得，2n+1=（1+1）n+1=1+Cn+11+Cn+12+…+Cn+1n-1+Cn+1n+1，所以2n+1＞n2+2n+2，由此能证明． （Ⅲ），欲证：．，即证，即ln（1+Tn）-Tn＜0．构造函数f（x）=ln（1+x）-x，借助导数能够证明． 【解析】 （Ⅰ）∵2n+1an+1-2nan=n 令bn=2n+1an+1-2nan，∴2nan=2a1+b1+b2+…+bn-1=， ∴，又a1=1成立∴（4分） （Ⅱ）∵，∴ 又当n≥2时，2n+1=（1+1）n+1=1+Cn+11+Cn+12+…+Cn+1n-1+Cn+1n+1 ∴2n+1＞1+Cn+11+2Cn+12，∴2n+1＞n2+2n+2，而 ∴，又a1=1 故（9分） （Ⅲ） 欲证：．，即证，即ln（1+Tn）-Tn＜0． 构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），， ∴f（x）在[0，+∞）上为减函数，f（x）的最大值为f（0）=0， ∴当x＞0时，f（x）＜0，∴ln（1+Tn）-Tn＜0 故不等式．成立．（14分）