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高中数学试题
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如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=...
如图所示，在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，AB=1，AC=AA
1
=
，∠ABC=60°．
（1）证明：AB⊥A
1
C；
（2）求二面角A-A
1
C-B的余弦值．
（1）欲证AB⊥A1C，而A1C⊂平面ACC1A1，可先证AB⊥平面ACC1A1，根据三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，可知AB⊥AA1，由正弦定理得AB⊥AC，满足线面垂直的判定定理所需条件； （2）作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，则∠ADB为二面角A-A1C-B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A-A1C-B的余弦值即可． 【解析】 （1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1，在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°， ∴∠BAC=90°，即AB⊥AC， ∴AB⊥平面ACC1A1， 又A1C⊂平面ACC1A1， ∴AB⊥A1C． （2）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD， 由三垂线定理知BD⊥A1C， ∴∠ADB为二面角A-A1C-B的平面角． 在Rt△AA1C中，AD===， 在Rt△BAD中，tan∠ADB==， ∴cos∠ADB=， 即二面角A-A1C-B的余弦值为．
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考点分析：
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某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：
血型
A
B
AB
O
人数
20
10
5
15
（Ⅰ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；
（Ⅱ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；
（Ⅲ）现有一位血型为A型的病人需要输血，要从血型为A，O的学生中随机选出2人准备献血，记选出A型血的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
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已知sin（π-α）=
，α∈（0，
）．
（1）求sin2α-cos
2
的值；
（2）求函数f（x）=
cosαsin2x-
cos2x的单调递增区间．
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在数列{a
n
}中，都有a
n
2
-a
n-1
2
=p（n≥2，n∈N*）（p为常数），则称{a
n
}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：
（1）数列{（-1）
n
}是等方差数列；
（2）数列{a
n
}是等方差数列，则数列{a
n
2
}也是等方差数列；
（3）若数列{a
n
}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列；
（4）若数列{a
n
}是等方差数列，则数列{a
kn
}（k为常数，k∈N
*
）也是等方差数列．
则正确命题序号为
．
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函数f（x）=x
2
-2ax在区间（2，3）上有单调性，则实数a的范围是
．
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已知离心率为e的曲线
-
=1，其右焦点与抛物线y
2
=16x的焦点重合，则e的值为
．
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试题属性
题型：解答题
难度：中等
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如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=
，∠ABC=60°．
，α∈（0，
）．
的值；
cosαsin2x-
cos2x的单调递增区间．
-
=1，其右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则e的值为 ．