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已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足,且当x>1时,f(x)<0. (...

已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足manfen5.com 满分网,且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性并予以证明;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(log2x)>-2.
(1)令x1=x2>0,代入可求出f(1)的值; (2)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1>x2则,根据条件可得f(x1)与f(x2)的大小关系,最后根据单调性的定义进行判定; (3)将函数值-2用f(9)表示,然后根据单调性建立不等式,解之即可. 【解析】 (1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0 ∴f(1)=0 (2)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1>x2则 ∵当x>1时,f(x)<0 ∴即f(x1)-f(x2)<0 ∴函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)由,得f()=f(9)-f(3) 而f(3)=-1所以f(9)=-2 由函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数且f(log2x)>f(9)  则0<log2x<9即1<x<512 因此不等式的解集为{x|1<x<512}
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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