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如图所示,四棱锥P-ABCD的底面为一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2...

如图所示,四棱锥P-ABCD的底面为一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点.(14分)
(1)证明:EB∥平面PAD;
(2)若PA=AD,证明:BE⊥平面PDC.

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(1)欲证EB∥平面PAD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EB与平面PAD内一直线平行,取PD的中点F,连接FA,FE,根据中位线定理可知EF∥AB,EF=AB,从而ABEF是平行四边形,则EB∥FA,EB⊄平面PAD,FA⊂平面PAD,满足定理所需条件; (2)欲证BE⊥平面PDC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BE与平面PDC内两相交直线垂直,而BE∥AF,可先证 AF⊥平面PDC,而AF⊥PD,PD∩CD=D,PD⊂平面PDC,CD⊂平面PDC,满足线面垂直的判定定理,问题得证. 证明 (1)取PD的中点F,连接FA,FE,则EF为△PDC的中位线. ∴EF∥CD,EF=CD.∵BA⊥AD,CD⊥AD.∴AB∥CD∵CD=2AB,∴AB=CD. ∴EF∥AB,EF=AB.∴ABEF是平行四边形. ∴EB∥FA.∵EB⊄平面PAD,FA⊂平面PAD∴EB∥平面PAD(6分) (2)∵PA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD ∴PA⊥CD∵CD⊥AD,PA∩AD=A PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD ∴CD⊥平面PAD,∵AF⊂平面PAD ∴CD⊥AF. ∵PA=AD,PF=FD∴AF⊥PD. ∵PD∩CD=D,PD⊂平面PDC,CD⊂平面PDC ∴AF⊥平面PDC.由(1)可知,BE∥AF ∴BE⊥平面PDC
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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