已知a＞0，且a≠1，． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并证明f（x...

（1）利用对数函数的性质结合换元法令t=logax，从而推出x=at，导出f（t）后，直接把f（t）中的变量t都换成x就得到f（x）． （2）求出f（-x），然后把f（-x）和f（x）进行比较，若f（-x）=f（x），则f（x）是奇函数；若f（-x）=-f（x），则f（x）是偶函数；若f（-x）≠±f（x），则f（x）是非奇非偶函数．利用单调函数的定义和性质证明单调性． （3）结合f（x）的奇偶性与单调性进行求解．y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数，故由f（1-m）+f（1-m2）＜0可知f（1-m）＜-f（1-m2），即f（1-m）＜f（m2-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函数求解m的取值范围． 【解析】 （1）令t=logax（t∈R）， 则x=at，． ∴（x∈R）． （2）∵，且x∈R， ∴f（x）为奇函数． 当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，是减函数，y=-a-x是增函数． ∴y=ax-a-x为增函数， 又因为， ∴，（x∈R）是增函数． 当0＜a＜1时，指数函数y=ax是减函数， 是增函数，y=-a-x是减函数． ∴u（x）=ax-a-x为减函数． 又因为， ∴，（x∈R）是增函数． 综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x），（x∈R）都是增函数． （3）由（2）可知y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数． ∵f（1-m）+f（1-m2）＜0， ∴f（1-m）＜-f（1-m2）， 又y=f（x），（x∈R）是奇函数， ∴f（1-m）＜f（m2-1），， 因为函数y=f（x）在（-1，1）上是增函数， ∴-1＜1-m＜m2-1＜1， 解之得：．