已知函数f（x）=-+2ax2-3a2x+1，0＜a＜1． （Ⅰ）求函数f（x）...

（I）对函数求导，结合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解 （II）由题意可得-a≤-x2+4ax-3a2≤a在[1-a，1+a]恒成立，结合二次函数的对称轴x=2a与区间[1-a，1+a]与的位置分类讨论进行求解． 【解析】 （Ⅰ）f′（x）=-x2+4ax-3a2，且0＜a＜1，（1分） 当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a； 当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a； ∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）； f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分） 故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分） （Ⅱ）f′（x）=-x2+4ax-3a2=-（x-2a）2+a2， ⅰ）当2a≤1-a时，即时，f′（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减． ∴[f′（x）]max=f′（1-a）=-8a2+6a-1，[f′（x）]min=f′（1+a）=2a-1． ∵-a≤f′（x）≤a，∴∴∴． 此时，．（9分） ⅱ）当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即，[f′（x）]max=f′（2a）=a2． ∵-a≤f′（x）≤a，∴即 ∴∴． 此时，．（12分） ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分） 综上所述，实数a的取值范围为．（14分）