已知定义域为R的函数．（1）判断其奇偶性并证明；（2）判断函数f（x）在R上...

已知定义域为R的函数 manfen5.com 满分网

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（1）判断其奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，不用证明；
（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

（1）利用f（-x）=-f（x）即可作出判断；（2）由（1）可知f（x）是奇函数，当x＞0且x→+∞，f（x）越来越→-，可判断为减函数；（3）根据题意可将对于任意t∈[1，2]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立转化为“对任意t∈[1，2]k＞3t2-2t恒成立”．再构造函数g（t）=3t2-2t，利用g（t）在[1，2]上是增函数即可求得k的范围．【解析】（1）f（x）是奇函数．证明：∵= ∴f（x）是R上的奇函数．（3分）（2）由（1）可知f（x）是奇函数，当x=0时，f（x）=0，当x＞0且x越来越大，f（x）越来越小，x→+∞，f（x）越来越来→-， ∴f（x）是R上的减函数．（6分）（3）∵f（x）是R上的奇函数， ∴f（t2-2t）＞-f（2t2-k）=f（k-2t2）（9分）又f（x）是R上的减函数 ∴t2-2t＜k-2t2 即问题等价于对任意t∈[1，2]，k＞3t2-2t恒成立（12分）令g（t）=3t2-2t，则g（t）在[1，2]上是增函数， ∴g（t）max=g（2）=12-4=8（13分） ∴k＞8．

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考点分析：

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已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-4x．
（1）求f（-1）的值；
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（3）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值．

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