已知函数f（x）=ax2-2x+1（a≥0）． （1）试讨论函数f（x）在[0，...

（1）分a=0、≥2、三种情况，分别利用函数的图象性质，研究函数 在[0，2]的单调性． （2）根据a＞1，则，函数f（x）=ax2-2x+1，在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数，由此求得函数f（x）在[0，2]上的最大值和最小值． （3）当a=0 时，f（x）为一次函数，经检验满足条件．当a＞0时，分函数f（x）在区间（0，2）上有两个相等的零点、函数f（x）只有一个零点 两种情况，分别求出 a的取值范围，再取并集． 【解析】 （1）当a=0时，函数f（x）=-2x+1，在[0，2]上是减函数． 当a＞0时，函数f（x）=ax2-2x+1的图象是抛物线，开口向上，对称轴为x=， 若≥2，函数f（x）=ax2-2x+1，在[0，2]上是减函数． 若，函数f（x）=ax2-2x+1，在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数． 综上，当 a=0或≥2 时，函数f（x）=ax2-2x+1，在[0，2]上是减函数； 当，函数f（x）=ax2-2x+1，在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数． （2）若a＞1，则，函数f（x）=ax2-2x+1，在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数， 故函数的最大值为 f（2）=4a-3，最小值为 f（）=1-． （3）当a=0时，函数f（x）=-2x+1在区间（0，2）上只有一个零点x=，符合题意． 当a＞0时， ①若函数f（x）在区间（0，2）上有两个相等的零点（即一个零点）， 则，解得a=1，符合题意． ②若函数f（x）有二个零点，一个零点在区间（0，2）内，另一个零点在区间（0，2）外 则f（0）f（2）＜0，即4a-3＜0，得． 综上：f（x）在区间（0，2）上有一个零点时a的取值范围为，或a=1．