已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx．（1）求证：f（x）≥g（x）；...

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求证：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；
（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x₁、x₂（x₁＜x₂）；求实数m的取值范围，并证明： manfen5.com 满分网

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（1）设G（x）=x2-x-lnx，根据其导函数得到其最小值即可得到结论成立；（2）先令h（x）=f（x）-ag（x）；根据h（1）=0得到h（x）≥0的必要条件是h'（0）=0；求出a即可；（3）先求出其导函数，把问题转化为方程2x2-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根，再结合根与系数的关系得到m的范围；进而得到m与x2之间的关系；最后通过对关于x2的函数的求导，找到其最值点，即可得到结论成立．【解析】（1）设G（x）=x2-x-lnx，故（x＞0）…2' ∴G（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增 ∴G（x）≥G（1）=0 ∴f（x）≥g（x）…2' （2）令h（x）=f（x）-ag（x） ∵h（1）=0 所以h（x）≥0的必要条件是h'（0）=0，得a=1…3' 当a=1时，由（1）知h（x）≥0恒成立．所以a=1…2' （3）因为F（x）=f（x）+mg（x）=x2-x+mlnx，所以， F（x）有两个极值点x1、x2等价于方程2x2-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根 ∴得 …2' 由F'（x）=0得m=-2x22+x2，（） ∴F（x2）=x22-x2+（x2-2x22）lnx2 设，得ϕ'（x）=（1-4x）lnx＞0，∴ 所以…4'

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考点分析：

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已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）单调递增，f（-1）=0，设φ（x）=sin²x+mcosx-2m，集合 manfen5.com 满分网