已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，...

（Ⅰ）令x=y=0求得f（0）=0，令y为-x，f（x）+f（-x）=f（0）=0，即可判断f（x）的奇偶性； （Ⅱ）利用单调性的定义即可判断f（x）的单调性，在R上任取x1，x2，且令△x=x1-x2＞0，可证得△y=f（x1）-f（x2）＜0，问题得到解决． 解 （Ⅰ）函数f（x）为奇函数．…（2分） 证明：∵函数f（x）的定义域为R，而在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y为-x， 则有f（0）=f（x）+f（-x）…（4分） 又将x，y都取0代入得f（0）=0，即：f（-x）=-f（x）， 又由x在R中的任意性可知，函数f（x）为奇函数．…（6分） （Ⅱ）函数f（x）在R上为单调减函数…（8分） 证明：在R上任取x1，x2，且令△x=x1-x2＞0， 由△y=f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）=f（△x）+f（x2）-f（x2）=f（△x）…（10分） 又由题可知当x＞0，f（x）＜0，故f（△x）＜0，从而△y＜0， 这样就说明了函数f（x）在R上为单调减函数．…（12分）