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函数f(x)对一切实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,...

函数f(x)对一切实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0,
(1)求f(0)的值;
(2)当f(x)+3<2x+a在(0,manfen5.com 满分网)上恒成立时,求a的取值范围.
(1)令y=0,x=1得到f(0)即可; (2)令y=0得到f(x)的解析式,代入到不等式化简,设一个新的函数g(x)得到在(0,)上是减函数,要使不等式恒成立即要求出g(x)的最大值小于0即需g(0)≤0即可求出a的范围. 【解析】 (1)令y=0,x=1代入已知式子f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x, 得f(1)-f(0)=2, 因f(1)=0所以f(0)=-2 (2)在f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x中令y=0得f(x)+2=(x+1)x 所以f(x)=x2+x-2, 由f(x)+3<2x+a得x2-x+1-a<0 因g(x)=x2-x+1-a在(0,)上是减函数, 要x2-x+1-a<0恒成立,只需g(0)≤0即可,即1-a≤0, ∴a≥1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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