设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）． ...

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（2）当a= manfen5.com 满分网

时，若存在x₁、x₂∈[0，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），求x₂-x₁的最小值；
（3）若x∈[0，+∞）时，F（x）≥F（-x）恒成立，求a的取值范围．

（1）先求出其导函数，再结合x=0是F（x）的极值点即可求出a的值；（注意要代入验证）（2）先由f（x1）=g（x2）把求x2-x1的最小值转化为a=时函数3F（x）在[0，+∞）上的最小值，再结合第一问求出的单调区间即可求出结论．（3）先令h（x）=F（x）-F（-x），把问题转化为h（x）≥0恒成立问题，通过求其导函数得到其单调区间，进而得出结论．【解析】（1）∵F（X）=f（x）-g（x）=ex+sinx-ax． ∴F′（x）=ex+cosx-a．因为x-=0是F（x）的极值点，所以F′（0）=e+cos0-a=0，所以a=2．当x＜0时，F′（x）=ex+cosx-a＜1+1-2=0；当x≥0时，则φ（x）=ex+cosx-a，φ′（x）=ex-sinx≥1-1=0；所以函数Fx）在[0，+∞）上递增，从而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-2=0．于是x=0是函数F（x）的极小值点． ∴a=2符合题意．（2）因为a=，由f（x1）=g（x2）得x2=3（ex+sinx1）， ∴x2-x1=3（（ex+sinx1-x1），所以求x2-x1的最小值即求a=时函数3F（x）在[0，+∞）上的最小值，由（1）得F′（x）=ex+cosx-a在[0，+∞）上递增，从而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-＞0，所以F（x）在[0，+∞）上递增，所以3F（x）≥3F（0）≥3． ∴x2-x1得最小值为3．（3）令h（x）=F（x）-F（-x）=ex-e-x+2sinx-2ax，则h′（x）=ex+e-x+2cosx-2a．令t（x）=h′（x），t′（x）=ex-e-x-2sinx，令s（x）=t′（x），s′（x）=ex+e-x-2cosx． ∵s′（x）=ex+e-x-2cosx≥2-2=0， ∴t′（x）在[0，+∞）递增，从而t′（x）≥t′（0）=0， ∴h′（x）在[0，+∞）递增，从而h′（x）≥h′（0）=4-2a．当a≤2时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）递增，即h（x）≥h（0）=0 ∴当a≤2时，F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）时恒成立；当a＞2时，h′（x）＜0，又∵h′（x）在[0，+∞）递增，所以总存在x∈（0，+∞）使得在区间[0，x）上h′（x）＜0，导致h（x）在[0，x）上递减，而h（0）=0， ∴当x∈（0，x）时，h（x）＜0 这与F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）时恒成立不符，所以a＞2不合题意．综上：a的取值范围：（-∞，2]

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考点分析：

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