已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=...

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数在区间[-3，3]上的最大值和最小值；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如果存在，求出m，n的值，如不存在，请说明理由．

（1）由方程f（x）=x有两个相等的实数根，则△=0，得b，又由f（2）=0，可求a，从而求得f（x）．（2）先配方确定函数的对称轴，从而可求函数在区间[-3，3]上的最大值和最小值；（3）由的最大值，确定n≤，从而知当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数．若满足题设条件的m，n存在，则，从而可求m，n的值．【解析】（1）∵f（2）=0∴4a+2b=0 ① 又方程f（x）=x有等根，即ax2+bx-x=0的判别式为零 ∴（b-1）2=0 ∴b=1 代入①a=- ∴f（x）= （2） ∴函数的对称轴为x=1 ∴当x=1时，函数取得最大值为；当x=-3时，函数取得最小值为；（3）∵，f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]， ∴ ∴ 而f（x）=的对称轴为x=1， ∴当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数．若满足题设条件的m，n存在，则即 ∴ ∵m＜n≤． ∴m=-2，n=0，这时，定义域为[-2，0]，值域为[-4，0]．由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等