如图：在直角三角形ABC中，已知AB=a，∠ACB=30°，∠B=90°，D为A...

（1）可以先证明△ABD为等边三角形，从而可得BD⊥AE，BD⊥EF，根据线面垂直的判定可得BD⊥面AEF，进而根据面面垂直的判定可得面AEF⊥面BCD． （2）由（1）的证明可得∠A′EF为二面角A-BD-C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，从而当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得sinθ的值； （3）：利用体积相等求点C到平面A′BD的距离即可． 【解析】 （1）证明：由△PBA为Rt△， ∠C=30° AB= ∵D为AC中点， ∴AD=BD=DC ∵△ABD为正三角形 又∵E为BD中点 ∴BD⊥AE’BD⊥EF 又由A’E∩EF=E， 且A’E、EF∈平面A’EF，BD⊥平面A’EF ∴面A’EF⊥平面BCD （2）由（Ⅰ）的证明可得∠A′EF为二面角A-BD-C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O． ∵面A′EF⊥面BCD， ∴O在FE上，连BO交CD延长线于M， 当A′B⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM， ∴O为翻折前的等边三角形△ABD的中心． 则OE=AE，cosθ=-⇒sinθ=． 因此当A′B⊥CD时，sinθ=…（7分） （3）∵=•a•a•sin60°=a2； A′E=a，A′O=AE=a， S△BCD=S△ABC=וa•a=a2； ∵= ∴•h•=•A′O•S△BCD⇒h=a． 即所求距离为：．