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已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+3an-1(n≥2且n...

已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+3an-1(n≥2且n∈N*).
(I)证明数列{an+an+1}是等比数列;
(II)求a1+a2+…an(n∈N*
(I)利用a1=1,a2=2,an+1=2an+3an-1,推出是常数,即可证明数列{an+an+1}是等比数列; (II)利用(I)推出an+1+an=3n,然后说明数列{an+1-3an}是以-1为首项,公比为-1的等比数列,求出an+1-3an=(-1)n,解出an,然后求a1+a2+…an(n∈N*) 【解析】 (I)证明:因为an+1=2an+3an-1,所以an+1+an=3(an+an-1), 所以=3是常数, 所以数列{an+an+1}是以a1+a2=3为首项,等比为3的等比数列; (II)由(Ⅰ)得an+1+an=3n,…①, 又an+1=2an+3an-1(n≥2且n∈N*). 得an+1-3an=-(an-3an-1),(n≥2且n∈N*). 即=-1,常数, 所以数列{an+1-3an}是以-1为首项,公比为-1的等比数列, an+1-3an=(-1)n,…②, 解①②得,an=, ∴a1+a2+…an=(31+32+33+…+3n)-[(-1)+(-1)2+(-1)3+…+(-1)n] =   (n∈N*).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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