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已知函数. (I)求函数f(x)图象上所有点处的切线的倾斜角范围; (II)若F...

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(I)求函数f(x)图象上所有点处的切线的倾斜角范围;
(II)若F(x)=f(x)-ax,a∈R,讨论F(x)的单调性.
(I)先求函数f(x)的导函数f′(x),再利用均值定理求导函数的值域即切线斜率的取值范围,最后由斜率定义及正切函数图象求得切线的倾斜角范围 (II))先求函数F(x)的导函数F′(x),再将求函数单调区间问题转化为解含参数的一元二次不等式问题,通过分类讨论即可解决问题 【解析】 (I)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=x+-1≥2-1=1  (当且仅当x=1时取等号) ∴函数f(x)图象上所有点处的切线的斜率k≥1 ∴切线的倾斜角θ满足tanθ≥1,θ∈[0,π) ∴θ∈[,) (II)F(x)=f(x)-ax=, ∴F′(x)=x+-(a+1)=  (x>0) 令g(x)=x2-(a+1)x+1 (x>0) △=(a+1)2-4=(a+3)(a-1) ∴当a<-3时,△>0,方程g(x)=0的两实根为x1=<0,x2=<0 ∴x>0时,g′(x)>0,∴F′(x)>0,∴F(x)在(0,+∞)上单调递增 当a>1时,△>0,方程g(x)=0的两实根为x1=>0,x2=>0且x1>x2 ∴F(x)在(0,),(,+∞)上单调递增,在(,)上单调递减. 当-3≤a≤1时,△≤0,g′(x)≥0,∴F(x)在(0,+∞)上单调递增 综上所述:a≤1时,F(x)在(0,+∞)上单调递增 当a>1时,F(x)在(0,),(,+∞)上单调递增,在(,)上单调递减.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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