已知函数f（x）=log3（ax2+2x+a2）在[2，4]上是增函数，求a的范...

令g（x）=ax2+2x+a2，y=log3x为定义域[2，4]上是增函数，根据复合函数“同增异减”的性质，可得g（x）在[2，4]上为增函数，且g（x）＞0在[2，4]上恒成立，即g（2）＞0，从而可求 【解析】 ∵y=log3x为定义域上的增函数，令g（x）=ax2+2x+a2， 则f（x）=log3g（x）为复合函数， 又∵f（x）=log3（ax2+2x+a2）在[2，4]上是增函数，根据复合函数“同增异减”的性质， ∴g（x）=ax2+2x+a2在[2，4]上为增函数，且g（x）＞0在[2，4]上恒成立 ①当a=0时，g（x）=2x在[2，4]上为增函数，且g（x）＞0在[2，4]上恒成立，满足题意 ②当a＞0，函数g（x）=ax2+2x+a2的对称轴x=-＜0，则函数g（x）在[2，4]上单调递增， 而由g（x）min=g（2）=4a+4+a2=（a+2）2＞0可知g（x）＞0在[2，4]上成立 故a＞0满足题意 ③当a＜0时，函数g（x）=ax2+2x+a2的对称轴x=-＞0， 由题意可得，且g（x）min=g（2）=4a+4+a2=（a+2）2＞0 ∴ 综上可得，